Още Платон говори за т.нар. правилни тела - изпъкнали многостени. Техните стени се явяват абсолютно еднакви правилни многоъгълници. Платон черпел своите познания от школата на Питагор. Той посещавал лекциите на феноменалния питагорейски лектор Филолай. Дори си купил за жалки сребърници питагорейска книга, от която най-вероятно безжалостно преписвал в полза на своите "Диалози". Няма съмнение, че питагорейците отлично знаели факта, че правилните многостени по вид са само 5 на брой. Те са следните:

1) Правилен тетраедър - пирамида с 4 стени, които са еднакви помежду си равностранни триъгълници. Тетраедърът има 4 върха и 6 ръба. И забележете, че сборът от броя на стените и върховете му, намален с броя на ръбовете му, е числото 2.

2) Куб - многостен с 6 на брой стени - еднакви квадрати, 8 върха и 12 ръба. И забележете, че отново е налице зависимостта - сборът от броя на стените и върховете на куба, намален с броя на ръбовете, е числото 2.

3) Правилен октаедър - тяло с 8 еднакви стени, които са равностранни триъгълници, имащо 6 върха и 12 ръба. То може да бъде получено като залепим две еднакви пирамиди като Хеопсовата за основата им, която е квадрат. Забележете, че отново е налице равенството - сборът от броя на стените и върховете на октаедъра, намален с броя на ръбовете, е пак числото 2.

4) Правилен додекаедър - тяло с 12 на брой стени, които са еднакви равностранни петоъгълници, имащо 20 върха и 30 ръба. Нагледна представа за додекаедъра (правилният двадесетостен) ви дава класическата футболна топка от световните първенства през 70-те години на миналия век. Забележете, че отново е валидна зависимостта - сборът от броя на стените и върховете на додекаедъра, намален с броя на ръбовете му, е равен на 2.

5) Правилен икосаедър - тяло с 20 стени - еднакви помежду си равностранни триъгълници, 12 върха и 30 ръба. И тук имаме забелязаната в предишните случаи зависимост - сборът от броя на стените и върховете на икосаедъра, намален с броя на ръбовете му, е рабен на 2.

Впоследствие гениалният швейцарски матеманик Леонард Ойлер (1707 - 1783) доказва, че упомената зависимост е валидна за всеки изпъкнал многостен, дори страните му да не са правилни многоъгълници и да не са еднакви помежду си. С други думи Ойлер доказва, че се касае за един от възможните топологични инварианти, свързани с изпъкналите многостени.

      Днес, благодарение на умелото плагиатство на Платон от питагорейците,  цитираните по-горе пет тела са наречени Платонови. С тях са свързани редица шеметни твърдения.

    Основоположниците на атомизма в древна Гърция смятали, че атомите на огъня имат формата на правилни тетраедри. Атомите на Земята имат формата на кубове. Атомите на водата имат формата на икосаедри. А атомите на въздуха (етера) имат формата на октаедри.

     Забележете, че древните гърци вярвали, че в основата на света лежат 4 на брой начала: огън, земя, вода и въздух. Додекаедърът бил олицетворител на вселената. Дори можем да припознаем в него митичния елемент апейрон на древногръцкия мислител Анаксимандър - елементарната частица на безкрайността. А онези, които предпочитат даоската терминология, могат да съзрат в додекаедъра мистичното дао на Лао Дзъ. Така в древнокитайската концепция У-Син праначалата (или ако предпочитате праелементите) се оказват вече 5 на брой. Някои от древногръцките философи, обаче, изразили ясните си предпочитания към едно-единствено праначало. Например Талес от Милет свел цялото многообразие на вселената до праначалото "вода". Разбира се не трябва да бъдем наивници и да си мислим, че водата на Талес е тази с химическата формула H2O. По-скоро това е водата, над която се носи Божият Дух в първата глава на Библията - Битие 1-2:

"Първоначално Бог сътвори небето и земята, а земята беше безвидна и пуста. Тъмнина се стелеше над бездната и Дух Божий се носеше над водата."

Хераклит пък отдал своето предпочитание на праначалото "огън". На него принадлежат знаменитите мисли:

"Светът е огън. Закономерно възпламеняващ се и закономерно угасващ.";

"Огънят се отнася къмто нещата така, както златото се отнася към стоките."

Както споменахме по-горе, Анаксимандър обявил апейрона за единственото праначало на света.

     Швейцарският математик Лудвиг Шлефли (1814 - 1895) изобретил специални символи за правилните многостени и разглеждал такива дори и в пространства с по-голям брой измерения от 3. Когато q на брой стени - правилни p-ъгълници, се събират в един връх на едно Платоново триизмерно тяло, то се означава със символа на Шлефли {p,q}. Например символът на Шлефли за куба е {4,3}, както можете да съобразите и сами.

    Един от създателите на съвременната геометрия - немският математик Феликс Клайн (1849 - 1925), изложил своята Ерлангенска програма за развитието на геометрията, разкривайки метафизичната същност на тази наука като учение за инвариантите, положил немалко усилия, за да изучи симетриите на икосаедъра. Той описва тези симетрии в епохания си труд, озаглавен - "Леции за икосаедъра".

   Вероятно някои от вас, уважаеми читатели, ще си помислят с нотка на отегчение - луди хора, имали са много свободно време и пари, за да се занимават с екзотични глупости. Но това съвсем не е така. Съществуват много древни учения, които придават на Земята статут на жив геокристал с формата на икосаедър. Сякаш върху Земята е надената усмирителна геокристална икосаедрична мантия. И цялата еволюция на тази планета тези учения разглеждат през призмата на прехода на този гигантски икосаедър към вселенски морфизъм и замяната на икосаедричната мантия с додекаедрична. Когато икосаедъра премине в додекаедър Земята ща завърши своята вътрешна трансформация на жив и вероятно мислещ, геокристал, върху чиято повърхност ние съществуваме като жалки мушици-еднодневки.

   Френският геолог Ели дьо Бомон и руснакът Степан Кислицин, независимо един от друг, между 1920 и 1928 година, достигат до прозрението, че във върховете на Земния икосаедър се случват странни и трудно обясними неща. В блестящо написаната книга на Н.П.Юшкин, И.И.Шафрановский, К.П.Янулов, озаглавена "Законы симетрии в минералогии", Ленинград 1987 (АКАДЕМИЯ НАУК СССР), читателят ще се сблъска още и с имената на Н.Гончаров, електронния инженер В.Макаров и строителния инженер В.Морозов. Те също, по независим път, достигат до този кръг от идеи. Картографирана, по този икосаедричен начин, Земята натрупва ценните си залежи във върховете на мрежата. Там стават най-често големите земетресения, а също и странни изчезвания на обекти. Бермудският и други, подобни на него триъгълници, се намират точно във върхове на икосаедричната мрежа. Сякаш там има портали към други измерения. Всъщност и нашумялата напоследък хипотеза за плоската Земя получава частично потвърждение заради гигантските плоски парчета - стени на икосаедъра с форма на равностранни триъгълници. Сякаш преминавайки от един такъв триъгълник в съседен нему, се нарушава плоскостта и нещо изчезва, бедейки принесено в жертва, подобно на жертвите принасяни на древните финикийски богове. Земният икосаедър е забулен от мистична тайна, която съвременната наука все още не е способна да разгадае.

     За това колко важни са петте платонови тела можем да съдим и от древното учение Йога. Някои от основните енергийни центрове - чакрите, също са свързани с платоновите тела. Основната чакра Мулад(х)ара (намираща се на нивото на опашната кост) е свързана с куба, защото съответства на праначалото "земя". Втората чакра - Свадищана (намираща се на нивото на половите органи) e е свързана с праначалото "вода" и следователно се асоциира с икосаедъра. Манипура - третата чакра (отдолу нагоре) се намира на нивото на слънчевия сплит и се асоциира с праначалото "огън". Следователно на нея съответства тетраедъра. Четвъртата чакра - Анахата - тази в гърдите, намираща се на нивото на сърцето, е свързана с любовта и с праначалото "въздух". Следователно на нея съответства октаедъра. Удивителното е, че и петата чакра - Вишудха (намираща се на нивото на гръкляна) също съответства на праелемента "въздух" ("етер") и следователно също се асоциира с октаедъра. Вишудха символизира единството на отделното с цялата вселена и следователно, ако е развита на нужното ниво, човек получава съзнанието на цялата вселена, т.е. придобива висша телепатична способност. Шестата - изключително важна, чакра е Аджна. Тя е на нивото на междувеждието и е точно това, което се нарича трето око. На нея съответства интегралното съзнание и постигналият го придобива най-висшите умения, наречени "сидхи". На тази чакра съответства додекаедъра. Теменната и най-висшата чакра е Сахасрара. Тя е олицетворение на Неилюзорния свят - светът на божественото каузално тяло, известно с името Дхармакая (за разлика от илюзорния свят, наричан още Мая, а във филмите на Холивуд - Матрицата). Сахасрара се свързва с бялата светлина на просветлението, която умиращият вижда в края на тунела, който съзнанието му пробягва в процеса на смъртта. Следователно Сахасрара се свързва отново с додекаедъра - олицетворяващ истинната вселена.


ОБЕТ

Не си понятен за тълпите.
Това те радва, но и натъжава.
Живее Моцарт в общество на глухи.
Лишен от слух,
Бетховен чува музиката
най-добре от всички...!
Животът е безумна теорема,
която Бог единствен формулира.
Не е достъпно доказателството щ 
за тези,
въобразили си, че ще живеят...
Километражни камъни са дните.
Отдавна спря да ги броиш,
дори в надеждите.
Под шлем от тъмно бъдеще
пристъпваш
сред джунглата на Неизвестното.
Цветът на черното те мами
в огромен пентаграм затворен.
Студените диагонали
са твоя дом
от неизбродни спомени...
В додекаедъра вселената умира.
Но стилизираната чакра ще живее.
В кръвта на всичко живо ще пулсира.
И ти отново ще си древен Рицар,
издигнал меча си над световете.
По плочи от галактики достигащ
Двореца на безсмъртните поети.

П.П.  Избраженията на Платоновите тела можете да видите на линка по-долу:

 http://bgchaos.com/435/fractals/4dimension/платоновите-тела

 Всъщност аз имам личен принос към теорията на Октаедъра, който се съдържа в една моя (съвместна статия):

Vassilev, M., Atanassov, K., 1994. On Delannoy numbers. Annuaire de l’Universitй de Sofia “St. Kliment Ohridski” 81 (1), 153–162.

 Тази статия е цитирана многократно от различни чуждестранни автори. Например в:

 https://lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Papers/delannoy.pdf

 тя е последната от цитираните статии.

 

поздравления.

Макар че не всичко казано тук достига до моя необразован ум, аз вярвам в истинността на всяка твоя мисъл.
Поздравявам те за личния принос по темата "Забележителни връзки" и за световното признание, което си получил като учен и филосиф!

А стихотворението под текста издига в култ творческото дръзновение на човека, което
го води към вечността...
Моите почитания, Мисана!

Публикувах това стихотворение под текста, защото така то става напълно разбираемо. Още през 1969г. успях да пресметна в явен вид броя на целочислените точки в октаедъра, чийто център съвпада с центъра на триизмерна координатна система. Тогава още не бях осъзнал колко важен резултат съм получил. Впоследствие успях да пресметна броя на целочислените точки в n-мерния октаедър, чийто център е началото на n-мерна координатна система, а разстоянито от върховете на този октаедър до този център е цяло число к. Оказа се, че броят на тези точки е D(n,k) - числото на Деланоа. Официално тази статия беше публикувана през 1994г. в Годишника на СУ. Този факт за числата на Деланоа до публикуване на статията не беше известен в световната математика.

В осъвременената Таблица на Менделеев има 103 химически елемента.
Най-разпространените (поне в Земната кора) химически елементи, сигурно имат ядра чиита атоми са построени по върховете на правилни многостени. Най-разпространеният например, кислородът, с тегловен дял около 50%, има 8 протона и 8 неутрона, които няма как да са построени освен кубично.
Калцият, влизащ в състава на варовиците, има по 20 броя протони и неутрони, а 20 са върховете на додекаедъра...

Весел уикенд!