Съществува ли правоъгълен триъгълник с цели дължини на страните, за който радиусът на вписаната в него окръжност не е цяло число?

Съществува. В Гуглето има всичко.

Само гласувах за тази интересна загадка.
Поздрави!

Ако дължините на катетите на триъгълника означим с a и b, дължината на хипотенузата със с и дължината на радиуса на вписаната окръжност с r, то имаме:

r = (a + b - c)/2 ,

а от друга страна питагоровата теорема ни дава:

a^2 + b^2 = c^2.

От тези две равенства, тъй като по условие a, b и с са цели числа, с елементарни разсъждения следва, че числото (a + b - c) е четно, а тогава r е също цяло число.

Засега ги има много на определните за целта територии, но няма да е за дълго.

После си при Господ. Така че моли се активно още отсега!

Прочетох обоснования ти отговор и благодаря.
Поне си припомних някои теореми...:)