Кула (Power set) на едно множество се нарича множеството състоящо се от всички негови подмножества /включително и празното множество/.
Когато изходното множество е безкрайно и неизброимо, неговата кула е трудно мислима. Припомняйки си ситуацията с парадокса на Ръсел, e близко до ума, че съществуването на кулата на такова множество отникъде не следва, тъй като не е ясно дали тя въобще е множество. Ето защо нейното съществуване като множество се постулира чрез специална аксиома в Теория на множествата - т.нар. Рower set axiom.
Лесно се съобразява, че кулата на множество, състоящо се от n на брой елементи , съществува и съдържа точно две на степен n на брой елемента. Например кулата на множеството, състоящо се от трите елемента: a, b, c, се състои от празното множество; от множествата съдържащи поотделно елементите а, b, c; от множествата съдържащи двойките елементи: (a,b), (a,c), (b,c); и от самото изходно множество. А това прави точно 2 на степен 3, т.е. 8 на брой елемента.
Тъй като 2 на степен n е по-голямо от числото n, то кулите на крайните множества са винаги по-мощни от тези множества.
На езика на кардиналните числа, към който се опитвам да ви приуча, това означава, че кардиналното число на кулата на едно крайно множество е винаги по-голяма от кардиналното число на това множество.
Но дали същото неравенство остава валидно винаги и за кулите на безкрайните множества? /По аналогия с крайните множества, Кантор записвал кардиналното число на кулата на едно безкрайно множество А с 2 на степен кардиналното число на А./
Така поставеният въпрос не допуска тривиална обосновка на отговора си. По тази причина Кантор започнал с множеството N на всички цели положителни числа, чиято мощност /т.е. чието кардинално число/ означихме с алеф нула. Той с лекота установил, че мощността на кунтинуума /която заедно с вас означихме със с/ е равна на 2 на степен алеф нула.
Но, ако си спомняте кардиналното число с е по-голямо от алеф нула. Откъдето Кантор, с чувство на удовлетворение заключил, че кулата на N е по-мощна от самото N.
Ще избързам да ви издам една малка, но съществена тайна. А тя е, че:
ако А е безкрайно множество, то множеството състоящо се от всички крайни подмножества на А има мощността на А.
Последният факт означава всъщност, че ако кулата на едно безкрайно множество е по-мощна от самото множество, то разликата в мощностите се дължи единствено на безкрайните елементи на кулата!
Доказателството, което Кантор дава на твърдението си, че:
всяка кула е по-мощна от пораждащото я множество
е с кристално прозрачна логика и би могло да бъде разбрано и от дете в забавачница. Разликата е единствено в това, че детето не би могло да измисли това доказателство!!! А ето го и самото него.
Нека А е произволно непразно множество и К е кулата на А. Да допуснем, че съществува множество А равномощно със своята кула К. Това означава, че съществува биективно съответствие f между А и К. Нека х е произволен елемент на А и f(x) е образът на този елемент в К. По дефиницията на К това означава, че f(x) e подмножество на А. Да наречем елемента x ВЪЗПИТАН, ако той не принадлежи на f(x). Вече предусещам нещо като негодувание у някои от вас: Какви ни ги дрънка този? Не е ли възможно да не съществуват ВЪЗПИТАНИ елементи? Не! - Отговарям ви веднага. Вероятно помните, че празното множество е подмножество на всяко множество. А тогава то е подмножество и на нашето множество А. Следователно празното множество е елемент на К. Тъй като съответствието f е биективно, то ще съществува елемент y на А, съпоставен на празното множество. Но очевидно у не може да принадлежи на празното множество, защото то по дефиниция няма елементи. Следователно елементът у е със сигурност ВЪЗПИТАН. Сега вече вие сте наясно, че множеството от всички ВЪЗПИТАНИ елементи на А не може да бъде празно. Да го означим с B. Тъй като очевидно В е подмножество на А, то В е елемент на К. Нека z e онзи елемент на А, който съответствието f съпоставя на В. Задаваме си естествения въпрос - ВЪЗПИТАН ли е z? Да допуснем, че е именно такъв елемент. Тогава, съгласно дефиницията на ВЪЗПИТАН елемент, ще имаме, че z не принадлежи на f(z). Но f(z) = B. Излезе, че z хем е ВЪЗПИТАН, хем не принадлежи на множеството на всички ВЪЗПИТАНИ елементи В. А това е логически абсурд. Следователно z не е ВЪЗПИТАН. Но тогава z принадлежи на f(z) и тъй като f(z) = B, то z принадлежи на В. Но В е множеството на всички ВЪЗПИТАНИ елементи на А. Излезе, че все пак z e ВЪЗПИТАН. Отново логически абсурд! Ала на какво се дължат тези логически абсурди? - с право ще ме попитате вие. Отговарям ви незабавно - на допускането, че съществува биективно съответствие между множеството А и неговата кула К. Значи такова съответствие не може да съществува и кулата К е винаги по-мощна от А. Изказано другояче:
2 на степен кардиналното число на А е винаги по-голямо от кардиналното число на А.
И така Кантор доказал нещо много съществено. А именно:
съществува безкрайна строго растяща редица от безкрайни кардинални числа - тази задаваща мощностите на безкрайната матрьошка от кули, породена от N - множеството на целите положителни числа.
Картинката изглеждала привлекателно проста. Алеф нула е най-малкото безкрайно кардинално число. То е последвано от числото алеф едно, равно на 2 на степен алеф нула. То пък е последвано от алеф две, равно на 2 на степен алеф едно. То пък е последвано от алеф три, равно на 2 на степен алеф две, etc до безкрайност.
Това били планираните номера на канторовите галактики, в които разслоени лежали спящите красавици - безкрайности!!! Това била йерархията на алефите!!!
И всичко това щяло да е вярно, ако би била вярна континуум хипотезата. Но вече с вас разбрахме, че нейната вярност никак не следва от аксиомите, на които се полагал Кантор. Неговият математически рай се разминал с трансцеденталната и уви, непознаваема математическа Реалност. Но в тази енигматична Реалност, Кантор, като един паяк с неподражаем интелект, все пак вплел акордите на своите безбройни алефи!
/следва/
ЩЕ СЕ ЗАДОВОЛИМ ЛИ САМО С НИРВАНА
Изразявайте се открито пред тези ,който ...
Почувствах се нищожество с моите бедни знания по темата...
Пожелавам ти свежа творческа енергия и нови постижения в областта на точните науки!
Почувствах се нищожество с моите бедни знания по темата...
Пожелавам ти свежа творческа енергия и нови постижения в областта на точните науки!
Силно съм трогнат от вниманието ти към текста ми и от коментара, който направи. Аз исках да постигна точно обратното - читателите ми да разберат с лекота написаното от мен, а не да им създам чувството, че нищо не разбират. Изглежда съм се провалил, което често ми се случва. Поне ще остане налице доброто намерение, с което пиша това есе.
Бъди благословена и имай много радостна нова седмица!
Във Ваше лице винаги съм имал добронамерен и вдъхновяващ читател.
Честито начало на академичната година и Ви желая само успехи и щастие!
Абе сетих се... пак да те разсмея... Като учехме Политикономия асистента накрая стандартно питаше - Има ли въпроси? Но бързо се поправяше - С изключение на тебе! - и ме сочеше нервно... Истина казвам :-) А след години много се смяхме като се срещнахме :-)
Комплименти Младен! Надявам се да намеря кондиция да се задълбая по-дълбоко в контекста на труда ти.
Ще чакам продължението...
Абе сетих се... пак да те разсмея... Като учехме Политикономия асистента накрая стандартно питаше - Има ли въпроси? Но бързо се поправяше - С изключение на тебе! - и ме сочеше нервно... Истина казвам :-) А след години много се смяхме като се срещнахме :-)
Комплименти Младен! Надявам се да намеря кондиция да се задълбая по-дълбоко в контекста на труда ти.
Ще чакам продължението...
Ако се беше случила въпросната ситуация, която описваш, щяхме да си говорим на толкова интересни теми и да замръкваме във висшето учебно заведение. Понеже се интересуваше, то нека числото m не се дели нито на 2 нито на 5. Дължината на периода на дробта 1/m е онова най-малко число k, за което 10 на степен k дава остатък 1 при деление на m. Нека m се разлага на произведение от вида n_1.n_2...n_s , където n_t = (p_t)^l_t и числата p_t са различни прости числа, а степените l_t са цели положителни числа по-големи или равни на 1. Тогава се доказва, че дължината на периода на дробта 1/m се равнява на най-малкото общо кратно от дължините на периодите на дробите 1/n_t. Оказва се, че дължината на периода на дробта 1/n_t се изразява в явен вид чрез дължината на периода на дробта 1/p_t. И така въпросът в крайна сметка се сведе до пресмятане дължините на периодите на дроби от вида 1/p, където p e просто число. Този въпрос, уви, не е решен. Знае се само, че дължината на въпросния период трябва да е делител на числото p-1. Но кой точно делител, когато простото число p e зададено в буквен вид, това не се знае и едва ли някога ще се узнае. За всяко конкретно p въпросът естествено има решение.
Май трябва да си намеря някое мъдро дърво под което да седна, че като му разкажа на него да знам че и други ще разберат :-)
Но преди това трябва да върна мобилния на феята от езерото брат... Дано си го иска обратно :-))))))
А ако седя достатъчно дълго и не се чуем, може и на Буда да съм се престорил... Да знаеш де :-)))))