Провалът на Кантор бил провал на човешката математика. Станало съвършено ясно, че както Хилберт подценил дълбочината на тази наука и искал да я сведе до краен брой положения - идеал завещан ни още от древногръцките мислители, така и Кантор подценил безкрайностите, опитвайки се да ги изучи с чисто бинарни средства - принципът за изключеното трето! Това, обаче, било явно надценяване на възможностите на този подход. Реейки мисли над бездните на безкрайностите, Кантор сякаш напипал една от главните златоносни жили в Теорията на множествата. Тя е свързана с т.нар. Power set или образно казано с Кулата на едно множество. Какво собствено представлява тази Кула? Да си представим, че разглеждаме някакво множество М - крайно или безкрайно. От елементите на това множество ние можем да формираме нови множества. Да разгледаме всички такива множества от елементи на даденото. Можем да гледаме на тези множества като на елементи на едно ново множество. Именно това множество наричаме Кула на М и за удобство я бележим с К(M). Ще онагледя казаното с пример. Нека например М се състои от елементите a, b, c . Тогава К(M) има за свой елемент - празното множество /защото то е подмножество на всяко множество/. Освен това К(M) очевидно съдържа множествата, състоящи се от по един елемент на М. Това са следните множества: {a}, {b}, {c}. Но М съдържа още и множествата от по два елемента:{a,b}, {b,c}, {a,c}. Най-накрая в K(М) попада и триелементното множество {a, b, c}. Пребройте внимателно и ще се убедите, че K(M) притежава точно 8 елемента, т.е. 2 на степен 3 елемента. По аналогичен начин може да се убедите, че ако М е множество с 4 елемента, то К(M) съдържа 2 на степен 4 елемента, т.е 16 елемента. Или най-общо казано, ако M е множество с n на брой елемента, то неговата Кула има 2 на степен n елемента, т.е. значително повече елементи от M. Кантор си задал въпроса - какво се случва с Кулата на М, ако множеството М е безкрайно? Дали винаги К(M) има повече елементи от М в този случай? Отговорът на този въпрос не е тривиален, защото ние вече видяхме примери на безкрайни множества, съдържащи безкрайна част с толкова елементи, колкото цялото множество. Всяко множество М е част от своята Кула К(M) и когато М е безкрайно, то потенциално е възможно да съдържа същия брой елементи като К(M). С помощта на принципа за изключеното трето и чрез допускане на противното, Кантор доказал, при това особено елегантно, че Кулата на всяко безкрайно множество М съдържа повече елементи от М /за това доказателство ви препращам към есето си:

 https://missana.blog.bg/lichni-dnevnici/2018/09/30/mit-li-e-bezkrainostta-7.1629212

 където то е изложено/. Предполагам, че Кантор е бил особено горд с това свое откритие, защото то означавало, че Алефът на К(M) е по-голям от Алефа на М. По аналогия със случая на крайните множества, Кантор означил Алефа на К(M) с две на степен Алефа на М. Точно по този начин Кантор попаднал в коловоза на Континуум хипотезата, за която вече ви разказах в:

 https://missana.blog.bg/poezia/2022/02/05/pyrvorodniiat-griah-5.1802148

 Коловоз отвел го до задънената улица на една антиномия. Провалът на мечтите му! Но следва да отбележим, че Кулите са изключително сложни множества. Ако множеството М е крайно, то няма никакво съмнение в съществуването на неговата Кула. Но когато М е безкрайно, неговата Кула се издига над него с една особена призрачност. Тя е сякаш своего рода мъгла, или ако предпочитате - мъглявина, която се стеле над множеството. А Кулата на Кулата на М е още по-призрачна и мъглявинна. При всяка следваща и по-висока Кула навлизаме във все по-гъста мъгла и кунтурите на изходното множество М все по-призрачно избледняват. Сякаш то изчезва, или ако предпочитате - се разтваря в тези мъгли. Процесът има и своята обратна страна - редицата от Кулите на М, с нарастващата височина на тези Кули, сякаш ни отвежда в призрачната страна Икстланд, на която можем да припишем само призрачно, но не и реално съществуване. Другояче казано ние нямаме доказателства за реалното съществуване на Кулите на едно безкрайно множество М, особено ако неговата безкрайост бъде носител на една по-специфична природа. Кулите на безкрайните множества се превръщат в Отвъден свят, чиято реалност не може да се измери с нормалната реалност, към която сме привикнали, защото сме потопени в нея по рождение. Затова съществуването на тази Отвъдна реалност е вече под въпрос. Ние можем да вярваме в нея или да я отхвърлим подобно на Тома Неверни, който се опитал да отхвърли Възкресението на Иисус.  Въпросът за съществуването на нещо е един от най-тънките и нетривиални въпроси. Ситуацията със съществуването на Кулите доста напомня за парадокса на Ръсел, който гласи, че множеството на всички множества вече не е множество. То е множество само на думи, но не и на дело! По този начин изобретателните разсъждения на Кантор за Кулите внезапно увиснали. Можело да се окаже, че те са убидителни разсъждения за нещо, което всъщност не съществува. В случаи подобни на описания от мен, математиците действат прибързано и глуповато - като инженери. Те искат с цената на всичко да спасят творението си. Затова по метод, който бих нарекъл - Методът "Джаста Праста", те приели аксиомата, че всяко безкрайно множество притежава своя Кула - така наречената Power Set Axiom! Грубо и нескопосно, нали! Неслучайно един древен китайски император, който решил да се отърве от интелигенцията, издавил последната в клозетите, но запазил инженерите, защото според него те не били интелигенция! Тази Power Set Axiom, обаче, с нищо не допринесла за разплитането на гордиевия възел на Кулите, защото ние можем да въведем аксиома за съшествуване на Пегас, или на виолетова крава, но от това тяхното съществуване не става по-убедително за невярващите в Пегаси и виолетови крави.

 /следва продължение/