Съществува ли нечетно число по-голямо от 1, което е сума на различни свои делители?

Все пак съм длъжен да дам нейния отговор. А той е, че съществуват безбройно много такива числа. Най-малкото такова число е 945. То е сума на следните различни свои делители:

945 = 1 + 9 + 21 + 27 + 35 + 45 + 63 + 105 + 135 + 189 + 315

Броят на тези делители е 11.

Но как ли се откриват тези делители?
(Въпросът е риторичен – просто се учудвам) :)

Въпросът ти е много издържан логически и с радост му отговарям. Да означим с d(n) сбора на всички различни делители на едно число n /без самото n/. Например d(6) = 1 + 2 +3 = 6; d(10) = 1 + 2 + 5 = 8. Има сравнително проста формула за пресмятането на d(n) чрез делителите на n. Тя е открита от Леонард Ойлер. Ако проверим, че за някакво n имаме d(n) < n, то е очевидно, че това n не може да е сбор на свои различни делители. Затова се интерисуваме от числа n, за които имаме d(n) >= n. В нашия случай числото n e и нечетно. Чрез директна проверка на нечетните числа n < 945 установяваме, че имаме d(n) > n.
Чак при n = 945 имаме за пръв път, че d(n) > n. Тъй като 945 = 3.3.3.5.7, то чрез формулата на Ойлер намираме: d(945) = 975 = 945 + 30. Следователно, ако намерим различни делители на 945 със сума 30 и ги премахнем от списъка на различните делители на 945, то сборът на оставащите различни делители ще е точно 945. Но очевидно за делителите: 3, 5, 7, 15 имаме: 3 + 5 + 7 + 15 = 30. Премахвайки тези делители от списъка на всички различни делители на 945, остават делителите: 1, 9, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, чийто сбор ще е равен на 945.

Тук отбелязвам, че 30 = 3 + 27. Следователно ако премахнем 3 и 27 от списъка на различните делители на 945, то сборът на останалите делители ще е отново 945. Така можем да намерим всички представяния на 945 като сбор на различни свои делители.