Потребителски вход

Запомни ме | Регистрация
Постинг
18.11 23:40 - Малката теорема
Автор: missana Категория: Забавление   
Прочетен: 159 Коментари: 9 Гласове:
2



Юристът от Тулуза - Пиер дьо Ферма (1607-1665), който изпращал без угризения хора на ешафода за не чак дотам големи провинения, имал своя тайна страст - откриването на странни числови свойства. Той забелязал, че ако бъде взето произволно цяло положително число a и го повдигнем на степен p (където р е произволно просто число), а после от резултата извадим числото а, то полученото число винаги се дели на p (припомням ви, че прости числа се наричат целите положителни числа по-големи или равни на 2, които се делят единствено на себе си и на числото 1. Тези числа са безбройно много и последователното им изреждане е следното: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc.). Например ако повдигнем 2 на степен 11 и от резултата, който е 2048, извадим 2 ще получим 2046. Това число трябва да се дели на 11, съгласно твърдението на Ферма, защото 11 е просто число. Оставам на вас да проверите, че Ферма не се е издънил в този конкретен случай. Да разгледаме още един пример. Да вземем числото 12 и да го повдигнем на степен 3. Получаваме 1728. От това число вадим 12 и намираме 1716. Ферма твърди, че това число се дели на 3, защото 3 е просто число.  Оставам на вас да проверите, че и тук Ферма не се е издънил. Проверявайте си до утре изказаното от Ферма твърдение и аз се обзалагам, че няма да намерите контрапример. Забелязаната от Ферма закономерност е известна като малката теорема на Ферма. Тя играе важна роля в Теорията на числата.



Гласувай:
3
1



Следващ постинг
Предишен постинг

1. rosiela - Разбрах систематиката,
19.11 03:21
обясни ми доколко е полезно в реалния живот? Понеже казваш, че тази малка теорема играе важна роля в Теория на числата.
цитирай
2. missana - Благодаря ти за този коментар, Роси!
19.11 08:50
rosiela написа:
Разбрах систематиката, обясни ми доколко е полезно в реалния живот? Понеже казваш, че тази малка теорема играе важна роля в Теория на числата.


Да речем, че трябва да пресметнеш дължината на периода на дробта 1/р (където числото р е просто и нечетно число, различно от 5) , записана в десетичен запис. Да означим тази дължина с буквата a. От малката теорема на Ферма следва, че 10 повдигнато на степен р-1 дава остатък 1 при деление на р. Следователно числото а ще е делител на числото р-1. Това веднага рязко стеснява обсега на заподозрените числа а, които са кандидати за дължината на периода. Например, ако разглеждаме дробта 1/17, то дължината на периода й трябва да е делител на числото 17-1, т.е. на 16. Значи това може да е всяко едно от числата 2, 4, 8, 16, защото само тези числа са делители на 16. С непосредствена проверка се убеждаваме, че дължината на периода на 1/17 е точно 16, защото 10 повдигнато на степен 16 се дели на 17 и никоя по-ниска степен на 10 няма това свойство.
цитирай
3. rosiela - Специални благодарности за пояснението.
19.11 09:19
missana написа:
rosiela написа:
Разбрах систематиката, обясни ми доколко е полезно в реалния живот? Понеже казваш, че тази малка теорема играе важна роля в Теория на числата.


Да речем, че трябва да пресметнеш дължината на периода на дробта 1/р (където числото р е просто и нечетно число, различно от 5) , записана в десетичен запис. Да означим тази дължина с буквата a. От малката теорема на Ферма следва, че 10 повдигнато на степен р-1 дава остатък 1 при деление на р. Следователно числото а ще е делител на числото р-1. Това веднага рязко стеснява обсега на заподозрените числа а, които са кандидати за дължината на периода. Например, ако разглеждаме дробта 1/17, то дължината на периода й трябва да е делител на числото 17-1, т.е. на 16. Значи това може да е всяко едно от числата 2, 4, 8, 16, защото само тези числа са делители на 16. С непосредствена проверка се убеждаваме, че дължината на периода на 1/17 е точно 4, защото 10 повдигнато на степен 4 е 1000. 1000 - 1 = 999. А 999 се дели на 17.

цитирай
4. mihala - Здравей,
19.11 09:24
Даваш пример с делители, но същото се получава и при умножение с някакво число,може и да не е просто.Получава се даденото просто число.Докажи го.Хахаха
Весел ден.
цитирай
5. missana - Здравей, Даваш пример с делители, ...
19.11 10:59
missana написа:
[quote=mihala]Здравей, Даваш пример с делители, но същото се получава и при умножение с някакво число,може и да не е просто.Получава се даденото просто число.Докажи го.Хахаха
Весел ден.


Ще те помоля да формулираш точно твърдението си, защото в тази му форма остана неразбираемо за мен. Просто дай числен пример, какво точно искаш да кажеш.

цитирай
6. barin - Разбрах сметките, Младене, но как ...
20.11 06:49
Разбрах сметките, Младене, но как да познаем точно на кое от простите числа се дели едно число, от което се извади две. Може би затова има грешки при формулировката.
Поздрави!
цитирай
7. vedrina - !!!
20.11 19:35
Бреййй..., - много готино...
цитирай
8. missana - Благодаря ти, Барин, че се спря тук!
20.11 22:09
barin написа:
Разбрах сметките, Младене, но как да познаем точно на кое от простите числа се дели едно число, от което се извади две. Може би затова има грешки при формулировката.
Поздрави!


Фактически малката теорема на Ферма гласи, че ако p e едно избрано от нас просто число, то каквото и да е цялото положително число а ще е изпълнено, че числото (а^p) - a се дели без остатък на р. Това не е никак очевидно. Нека да избера например p = 13. Ферма твърди, че каквото и да е цялото положително число а, то числото (а^13) - a ще се дели на 13. Ако а се дели на 13, то е ясно, че твърдението на Ферма е вярно. Ако а не се дели на 13, то а дава при деление на 13 някакъв остатък b. Този остатък може да е всяко едно от числата 1, 2, 3,..., 12. Остава да проверим, че всяко едно от числата (1^13) - 1, (2^13) - 2, (3^13) -3,..., (12^13) - 12, се дели на 13. Това са точно 12 случая. Но може да ги сведем само до 6, защото 7 като остатък при деление на 13 е равно на -6, 8 е равно на -5, 9 е равно на -4, 10 е равно на -3, 11 е равно на -2 и 12 е равно на -1. Така че ако сме проверили твърдението за числата от 1 до 6, то остава вярно и за останалите.
цитирай
9. missana - Благодаря Ви, Марина!
20.11 22:14
vedrina написа:
Бреййй..., - много готино...

цитирай
Търсене

За този блог
Автор: missana
Категория: Поезия
Прочетен: 1506263
Постинги: 1180
Коментари: 7976
Гласове: 1734
Календар
«  Декември, 2019  
ПВСЧПСН
1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031