Потребителски вход

Запомни ме | Регистрация
Постинг
19.02 13:16 - Екстравагантно за Пи
Автор: missana Категория: Лични дневници   
Прочетен: 926 Коментари: 4 Гласове:
4

Последна промяна: 20.02 03:55

Постингът е бил сред най-популярни в категория в Blog.bg

        За загадъчното число Пи, приблизително равно на 3,14, а с пълна точност: 3,141592653589793... /безкрайно много знаци след десетичната запетая/, са изписани несметно количество научни и популярни статии,  а също книги и енциклопедии.  То е обект на изследване от най-дълбока древност от страна на шумерските, вавилонските, египетските, китайските, индийските математици, а също и на тези от древна Гърция и Рим /в това изреждане умишлено пропуснах математиците от древна Атлантида, защото нейното съществуване е все още хипотетично/. Като типичен подход за пресмятането му е използван методът на вписване в и описване около окръжност с радиус 1 на правилни многоъгълници с голям брой страни. Причината е, че окръжността може да се  разглежда като правилен безкрайноъгълник, явяващ се, както граница на вписани правилни n-ъгълници, така и граница на описани правилни n-гълници, при растенето на n към безкрайност. Периметрите на такива многоъгълници се пресмятат ефективно, откъдето може да се пресметне Пи с недостиг /чрез вписаните фигури/ и с излишък /чрез описаните фигури/,  практически с една разумна, отнапред зададена точност. За целта е достатъчно да се възползваме от факта, че дължината на окръжността с радиус 1 е равна на два пъти Пи. Подвиг в реализацията на този метод постига немският математик Лудолф фон Цойлен /1540 - 1610/, който спокойно може да бъде считан за холандски математик, с името Лудолф ван Цойлен, тъй като /страхувайки се от инквизицията/ прекарва по-голямата част от живота си в Холандия. Той хвърля дълги години от живота си за изчисляването на Пи /по указания по-горе метод/ с точност до 35-я знак след десетичната запетая.  Днес подобно изчисление отнема на компютрите само части от секундата, но египетският труд на ван Цойлен бива заслужено възнаграден - числото Пи се нарича в негова чест Лудолфово число и е изписано със същото количество знаци на надгробната му плоча. Може би за някои читатели ще е любопитно да научат, далеч не широко известният факт /отсъстващ в интернет пространството/, че знаменитият френски кардинал Арман Жан дьо Плеси Ришельо /1585 - 1642/, за мнозина неизкушени търсачи на любопитни факти познат най-вече от нашумелия роман на Александър Дюма "Тримата мускетари", също посвещава немалко от свободното си време на пресмятането на числото Пи, чрез вписване и описване на многоъгълници, превръщайки това свое хоби в истинска страст.

        Приписват на Архимед приближението на Пи 22/7, ползвано и до ден-днешен в училищата. А на Андриан Меций /1543 - 1620/  пък приписват още по-точното приближение на Пи: 355/113. Но истината е, че и двете тези приближения са били известни още от много дълбока древност.

        Като любопитен куриоз вмъквам и факта, че световно известният френски учен-биолог Жорж-Луи Леклерк дьо Бофон /1707 - 1788/, познат от гимназиалното обучение с учението си за корелациите, поставя през 1777г. и решава задачата за определяне вероятността случайно хвърлена игла с дължина L да пресече мрежа от успоредни прави, разположени на разстояние B една от друга. Той установява нещо във висша степен любопитно и забележително. А именно, че въпросната вероятност P се задава по формулата:

 

P = 2L/ (Пи. B)

 

и с помощта на тази формула пресмята първите знаци на числото Пи, хвърляйки случайно игла достатъчен брой пъти. Разбира се, макар и парадоксален, начинът на Бюфон за пресмятане на Пи не е достатъчно действен. Защото за пресмятане на Пи до 6-я знак, след десетичната запетая, ще се наложи иглата да бъде хвърляна около 100000 пъти.

        Днес за бързо пресмятане на числото Пи, с висока точност, се използват формули на гениалния индийски математик Сриниваса Рамануджан Айенгор /1887 - 1920/, известен накратко като Рамануджан. Тези формули осигуряват много бърза сходимост и позволяват на компютрите да пресмятат Пи с точност от милиони знаци след десетичната запетая.

        На швейцарския математик и енциклопедичен ум - Леонард Ойлер /1707 - 1783/, дължим придобилото гражданственост означение за Пи.

        За официален ден на знаменитото число е избран 14 март - досетете се сами защо!

 

        Основните няколко характеристики на числото Пи, които всеки интелигентен представител на хомо сапиенс би следвало да знае, привеждам по-долу:

 

1) Числото Пи е равно на отношението между дължината на произволно избрана окръжност и дължината на нейния диаметър /факт с колосална важност!/.

 

2) Числото Пи в произволна целочислена позиционна бройна система /в частност и в десетична/ се задава с безбройно много знаци след запетаята, като този запис е непериодичен, т.е. Пи е ирационално число. Ирационалността на Пи е строго доказана за пръв път от  немския математик Йохан Ламберт /1728 - 1777/ през 1767г.

 

3) Числото Пи е не само ирационално, но е дори трансцендентно число /т.е. число, което не е решение на никакво алгебрично уравнение от крайна степен с коефициенти дробни /в частност цели/ числа.  Този забележителен факт е доказан от немския математик Карл Луис Фердинанд фон Линдеман /1852 - 1939/ през 1882г. 

 

Във връзка с 1) искам да отбележа, че в официалната наука битува тезата, че цивилизацията на маите не е познавала колелото, в частност окръжността, а следователно не е знаела и за съществуването на числото Пи. Лично аз смятам за абсурдно и нелепо подобно твърдение и най-категорично го отхвърлям. Не е ясно дали древните са се натъкнали на удивителното свойство 1) по емпиричен или по дедуктивен път. Преобладава мнението, че откриването на универсалната константа Пи дължим на прецизни измервания, извършвани от древните народи с висока математическа култура. Тъй като добре известен факт е, че най-дълбокото знание на тези народи е имало езотеричен характер и е било достояние предимно на жреците, то съпоставяйки това със свидетелствата за големите им познания по астрономия, които не биха били възможни  без отлично владеене на тригонометрията,  аз съм твърдо убеден, че именно астрономическите търсения на жреците са станали причина да бъде установено забележителното свойство 1).

 

         Добре известна е древногръцката задача за квадратурата на кръга:

 

само с помощта на линийка и пергел да се построи построи квадрат равнолицев на кръг с радиус 1.

 

Да се построи отсечка еднаква по дължина със страната на този квадрат, означава да се построи отсечка с дължина квадратен корен от Пи. Подобно построение, съгласно свойство 3), се оказва невъзможно, защото с линийка и пергел са построими само отсечки, чиито дължини са решения на алгебрични уравнения от крайна степен с дробни коефициенти, при това тези уравнения трябва да са от съвсем специален вид. Фактически Линдеман доказал строго, че задачата за квадратурата на кръга е нерешима, откъдето произлиза и изразът "квадратура на кръга", като нарицателно за всеки нерешим проблем. Но до 1882г. математиците все още са хранили юлизии, че ще решат задачата за квадратурата на кръга и ще се покрият с неувяхваща слава. Важна роля в Линдемановото доказателство играе великата формула на Леонард Ойлер - геният на гениите, вероятно с извънземен произход. Тази формула е следната:

 

Ехр(iПи) = -1.

 

Тук с Еxp е означена всеизвестната функция , наречена експонента. Тя действа като се повдигне една не по-малко известна от Пи числова константа, означавана традиционно с буквата e /която също е трансцендетно число и се равнява, закръглена до втория знак след десетичната запетая, на 2,72/ на произволно избрана степен. В нашият случай тази степен е числото iПи, където забележете, че с i е означено числото квадратен корен от (-1), наричано имагинерна единица. Тази формула е удивителна, защото в нея, по възможно най-прост начин, се преплитат мистериозно и мистично, три невероятни числови константи: имагинерната единица, е и Пи, и резултатът е реалното число (-1). Това е връзка между реалния и имагинерния свят, от една страна, и между трансцендетния и целочисления свят, от друга. Има само още една подобна формула в световната математика:

 

i на степен i = 1: квадратен корен(e на степен Пи),

 

която по своята мистериозност и мистичност не отстъпва на горната. Тя отново принадлежи на Ойлер и отново забърква трите константи: i, e и Пи в сюжет по-труден за разгадаване от роман на Агата Кристи.

 

         Дотук добре. Какво пък толкова, ще си помислят мнозина от вас. Защо ни занимава този с работи, които и сами можем да си издирим в различни източници, а на всичкото отгоре и ни затрупва с ненужни абстракции - нас - любителите на словото, които пишем предимно за любов и семпли нещица? Защо ни е да си пълним мозъците със сложнотиите му? Донякъде ще бъдете прави да ми отправите подобен упрек, но точно сега имате редкия шанс да узнаете нещо от мен, което не бихте могли да узнаете от друг. А то е наистина куриозно. Защото във вашите чудесни и умни глави е заседнала нездравата представа, че окръжност е онзи и само онзи наглед, с който сте свикнали от училищната скамейка, а после тази представа е затвърдена в някакъв университет, където мастити преподаватели са ви внушавали, че вие знаете вече окончателно що е това окръжност. Но ви уверявам,  че не знаете. В училищата се казва, че окръжност в равнината е геометричното място на точките равноотдалечени от една постоянна точка. Това го помним добре - ще възкликнете радостно вие. Да, помните го. Но давали ли сте си сметка за какво точно разстояние става дума? А става дума за т.нар. евклидово разстояние. Ако сте взели точката с координати (x,y) в равнината, то разстоянието d[(x,y),(0,0)] между тази точка и точката с координати (0,0) се задава, съгласно питагоровата теорема, по формулата:

 

d[(x,y), (0,0)] = квадратен корен((х на квадрат) + (y на квадрат)).

 

А оттук незабавно следва, че разстоянието между точките (x,y) и (u,w) се задава по формулата:

 

(*)   d[(x,y), (u,w)] = квадратен корен( ((x-u) на квадрат) + ((y-w) на квадрат)).

 

Това е именно формулата за задаване на евклидовото разстояние между две точки в равнината. И точно тази формула е истинската причина да виждате окръжността геометрически такава, каквато я помните. Ала това е само една евклидова окръжност.  Забележете, че евклидовото разстояние притежава следните три фундаментални свойства:

 

1.  d[(x,y), (u,w)] e винаги по-голямо от 0 /за точка (х,y) различна от (u,w)/ и става 0 само за (х,y) = (u,w).

Това свойство ще наречем неотрицателност на разстоянието;

 

2. d[(x,y), (u,w)] =  d[(u,w), (x,y) за всеки две точки (x,y) и (u,w).

Това свойство ще наречем симетрия на разстоянието;

 

3. За всеки три точки (x,y), (u,w) и (p,q) е изпълнено:

 

(d[(x,y), (u,w)] + d[(u,w), (p,q)]) е по-голямо или равно на d[(x,y), (p,q)].

Това свойство ще наречем неравенство на триъгълника, защото то е спазено за страните на един произволен триъгълник с върхове точките: (x,y), (u, w), (p,q).

 

Какво ще се случи, обаче, ако аз заменя формулата (*) с произволна друга формула, изпълняваща условията: 1., 2. и 3. ? Веднага ще ви отговоря на този въпрос. В този случай аз ще имам пак разстояние, но действащо по друга формула. Следователно това разстояние няма да е вече евклидово. И ако спрямо това ново разстояние вие дефинирате окръжността в равнината отново като геометричното място на точките равноотдалечени от една постоянна точка, то това ще е друг вид окръжност, вече не евклидова.  Съвсем естествено е тогава тя да не изглежда като евклидовата. Може да е например границата на квадрат или произволна друга затворена линия. Всичко зависи от избраната от вас формула за разстояние. Ето ви една такава друга формула, задаваща разстояние:

 

(**)  d[(x,y), (u,w)] = |x-u| + |y-w|.

 

В дясната страна на равенството (**) вертикалните черти са използвани за означаване абсолютната стойност на число. Разстоянието въведено чрез (**) е известно като разстояние Манхатън. При него окръжността е границата на квадрат! Но за да не си помислите, че с тези два вида разстояния се изчерпват разстоянията въобще, ще ви предложа една формула, задаваща безбройно много разстояния. Тя е следната:

 

(***)   d[(x,y), (u,w)] = корен n-ти((|x-u| на степен n) + (|y-w| на степен n)).

 

Получените разстояния, когато n пробягва всички реални числа по-големи или равни на 1, се наричат разстояния на Минковски, в чест на големия немски математик /който ги е въвел за пръв път/ Херман Минковски /1864 - 1909/, чийто пространствено-времеви континуум лежи в основата на Теорията на относителността на Алберт Айнщайн. За n=2 се получава евклидовото разстояние, а за n=1 - разстоянието Манхатън.  Нека сега за едно фиксирано n да разгледаме съответното разстояние на Минковски. То поражда съответна на него окръжност. Когато n е различно от 2 тази окръжност не е евклидова.  В частност, да проследим единичните окръжности с центрове (0, 0), съответстващи на n-тите разстояния на Минковски. Всички те ще минават през следните 4 точки в равнината:

 

(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1).

 

Вече разбрахме, че за n=1 единичната окръжност е границата на квадрат /съответстващ на разстоянието Манхатън/. Неговите върхове са цитираните по-горе 4 точки. За n=2 единичната окръжност е евклидова.  Ако k е по-голямо или равно на 1 и по-малко или равно на n, то k-тата единична окръжност ще е вписана в n-тата. Когато n расте неограничено n-тата окръжност клони към границата на квадрата с върхове:

 

(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1).

 

И тук идва най-интересното. За всяко едно n, да означим с d(n) съответното разстояние на Минковски. Тогава дължината на една произволна окръжност, породена от d(n), разделена на дължината на нейния диаметър /разстоянието между двете най-отдалечени точки върху тази окръжност/ е едно число, което зависи единствено от d(n) /но не от окръжността/ и затова ще го означим с Пи(d(n)).  За n=2 това число е класическото Пи, съответставащо на евклидовата окръжност. За d(1), т.е. за разстоянието Манхатън, съответното Пи, т.е. Пи(d(1)) e равно на 4.

 

          С други думи свойството 1) се запазва за произволна окръжност на Минковски. Удивителен и много дълбок факт!

 

Анализирайки ситуацията в значително по-общи случаи от разстоянията на Минковски, аз успях да потвърдя свойство 1) за обширен клас разстояния от твърде абстрактен вид. В резултат получих обща интегрална формула за числото Пи, но вече като функция от вида Пи(d) /зависеща от тези разстояния d, зададени във възможно най-абстрактен - буквен вид/. Когато в тази формула d бъде заменено с евклидовото разстояние от (*), се получава класическото число Пи. Когато d бъде заменено с разстоянието Манхатън от (**), моята формула дава, разбира се, Пи(d) = 4.

 

          Ще завърша това есе със следната важна бележка, която може да послужи като отправна точка за едно още по-дълбоко изследване:  Всяка дефиниция на понятието окръжност в явна или в скрита форма си служи с някакво разстояние, било то евклидово или неевклидово. Досега никой не е успял да освободи окръжността от нейните метрични окови. Който пръв успее да стори това или да докаже, че това не може да бъде сторено, той или ще издигне понятието окръжност до една по-висока - чисто топологична кота, или ще докаже неминуемия метричен характер на това понятие. В първият случай този изследовател ще се доближи максимално до идеята за Бога, а във втория ще докаже, че окръжността не е божествено понятие.

 


 

 




Гласувай:
5
1



1. lexparsy - Благодаря Младен
19.02 22:05
И аз научих интересни неща които не знаех за числото Пи.
Много слънчево и пролетно като времето днес настроение да имаш!
цитирай
2. missana - Мерси, Лекс!
19.02 23:34
lexparsy написа:
Благодаря Младен И аз научих интересни неща които не знаех за числото Пи.
Много слънчево и пролетно като времето днес настроение да имаш!


Радвам се, че съм бил полезен с нещо. Хубава вечер!
цитирай
3. vedrina - !!!
20.02 16:37
Брррр...!!!
цитирай
4. missana - Благодаря, че прочетохте, Марина!
20.02 17:40
Хубава вечер от мен!
цитирай
Търсене

За този блог
Автор: missana
Категория: Поезия
Прочетен: 1439028
Постинги: 1126
Коментари: 7695
Гласове: 1638
Календар
«  Октомври, 2019  
ПВСЧПСН
123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031