Всеки индивид има някаква интуитивна представа за бройност. Ще ми се да вярвам, че тя е зададена в нас априори от Висшата промисъл  на Креатора, а не е само резултат на даскалски манипулации в начални, средни и висши училища. Защото съм твърдо убеден, че всичко създадено от човешки ръце носи белега на трайното несъвършенство. Човекът е смъртен и жалък не само физически /например редовно напикаващият се в напреднала възраст Кант/. Той е смъртен и жалък, дори и в идеите си. И колкото и да превъзнасяме определени исторически личности, наричани гении, то те винаги отстъпват на костенурките, гарваните и орлите, а тяхната гениалност не е нищо повече освен наличност на нищожно малко количество фантазия повече в сравнение с тази на средностатистическия представител на хомо сапиенс. Христос е казал:

 

"ако имате вяра колкото синапово зърно, ще речете на тая планина: премести се от тука там, и тя ще се премести; и нищо няма да бъде за вас невъзможно." /Матей 17:20/

 

Но аз ви казвам, че същата мисъл важи много повече за фантазията, нежели за вярата. Едно синапово зрънце фантазия би ви направило могъщи, защото фантазията е истинската мярка за величието на мисълта, но уви, човеците си служат предимно със заместители на мисълта и всяко човешко същество е белязано със сянката  на инерциалността, както в житейски план,  така също и в мислите си. Препрочитайки написаното от Блез Паскал:

 

"Величието на човека е в мисълта!"

 

се усмихвам винаги тъжно, защото много повече би прилягала към Истината една друга мисъл, която споделям със стиснати зъби с вас тук:

 

"Величието на човека е в глупостта!"

 

          Но да се върнем към идеите на Кантор. С въведеното от него понятие мощност той всъщност поискал да пренесе човешкия наглед за бройност, формиран във въображението ни върху крайните множества, също и върху безкрайните.

 

"Поискал, а успял ли е?" -

 

сякаш още чувам в ушите си ехото от гласа на моята гимназиална преподавателка по български език, която често обичаше да смесва възвишени неща, като любовта между Данте и Беатриче, с въпроса за изгубените зимни ръкавици на своя немирен син. Не зная успял ли е Кантор, но надявам се вие да прецените сами това след прочитане на есето ми.

 

За Кантор две множества имат еднаква бройност точно когато съществува биективно съответствие между тях.

 

Както споменах по-горе, това означава, че:

 

две множества имат една и съща бройност, точно когато мощностите им, т.е. кардиналните им числа, съвпадат.

 

Ние видяхме докъде води този Канторов подход и доколко той е несъгласуван с интуицията ни, още когато отбелязахме, че:

 

броят /в смисъла, който влага Кантор/ на положителните дроби съвпада с броя на целите положителни числа.

 

Още по-парадоксално и скъсващо с интуицията ни, Кантор доказва, че:

 

броят на точките разположени в един куб е същият като този на точките разположени в произволен негов ръб.

 

Или, което е равносилно:

 

броят  на точките в кълбото е равен на броят на точките на произволно малка окръжност разположена върху сферата на това кълбо.

 

От идеята на Кантор за бройност на безкрайно множество следва лесно, че:

 

броят на точките в цялото тримерно пространство съвпада с броя на точките разположени върху произволно малка негова отсечка!

 

С други думи, с помощта на метода на биективното съответствие между две множества и с въведеното от него понятие за бройност, основана на мощност на множества /или все едно на кардиналните им числа/, Кантор се превърнал в един Хари Худини на своето време, вадейки нови и нови неизвестни породи птици от ръкавите на безкрайността.

 

Кардиналното му заключение било, че броят на точките в тримерното пространство, в равнината, върху правата, върху отсечката, е все един и същ и съвпада със "с" - мощността на континуума, което както вече видяхме е кардиналното число 2 на степен алеф нула, т.е. мощността на кулата на целите положителни числа.

 

Изумлението на съвременниците му от тези негови "открития" нямало граници и превърнало Кантор в своеобразен шаман на Теория на множествата. Колосалният математик Давид Хилберт /който леко изпреварил Айнщайн в депозирането на уравненията на неговата Обща теория на относителността/ възкликнал:

 

"Никой не може да ни изгони от Рая, който Кантор създаде за математиците в Теория на множествата."

 

Все пак не бива да се забравя, че:

 

"Пътят към Ада също е застлан с добри намерения!"

 

Да отбележим, че Кантор установил едно, по същество, чисто холограмно свойство на континуума:

 

Колкото и малки късчета от него да вземем, то те запазват бройността му!!!

 

Холограмите имат аналогичното свойство:

 

Всяка тяхна част продължава да съдържа информацията на изходното цяло!

 

Една от важните теореми на Кантор в математическата дисциплина, сега наричана Анализ, гласяла:

 

Ако вземем безкрайна редица от отсечки с намаляваща към 0 дължина, всяка следваща от които се съдържа в предходната, то съществува една единствена точка, която се съдържа във всяка от тези отсечки.

 

Тази теорема може да се превърне и в аксиома - всичко зависи от подхода ни към дисциплината Анализ. Но помнейки, че всяка от въпросните отсечки съдържа едно и също количество точки /съгласно Кантор/, а именно "c" на брой, то у нас възниква усещането за нещо парадоксално и необяснимо. А именно - къде и как изтича от разглежданите отсечки мощността на континуума "c",  за да се стигне до нищожната мощност 1 на едната единствена обща за всички тях точка? Спомням си, че точно този въпрос ми постави навремето един близък мой приятел и изключителен български теоретичен физик Анастас Анастасов /1934 - 2017/, който пръв в световната физика успя да извърши обединение на Теорията на относителността на Айнщайн с Квантовата механика в своя не получил признание у нас труд:

 

Теорията на относителността и кванта действие (4-атомизъм):

 

http://www.hralupa.com/index.php?act=viewProd&productId=2730

 

Наложи се да му отговарям с типичните увъртания от теорията на граничния преход, с които математиците често си служат, когато попаднат в трудна логическа ситуация. Но за себе си не останах удовлетворен от този  собствен отговор.

 

Безкрайностите крият сериозни парадокси.

 

Например броят на точките с цели координати, които съдържа eдно кълбо с целочислен радиус, центрирано в началото на пространството, е по-голям или равен на обема му.

 

А от една блестяща теорема на Фердинанд Рис, даваща топологичната характеристика на крайномерните пространства, по-наблюдателните от вас биха могли да извлекат уникалното следствие, че:

 

кълбетата в безкрайномерни пространства нямат вътрешност, т.е. са напълно мършави.

 

Това е истинската и дълбока причина обемите на кълбетата с радиус 1 намиращи се в n - мерно пространство да клонят към 0 с растенето на n.

 

Но това беше едно чисто лирическо отклонение на тема безкрайност.

 

/следва/

Нямам знания по темата, за да коментирам есето ти, Мисана, но ще запомня поне,
че "всичко създадено от човешки ръце носи белега на трайното несъвършенство. "
Смело и провокиращо твърдение!
Ползотворни да са дните ти!

Това твърдение, което цитираш, е печална констатация, плод на житейския ми опит. Ако някой е истински велик, той не би допуснал смъртта да го застигне. В този смисъл костенурки, гарвани и орли, са по-велики от гениите, защото ги надживяват с лекота.

Прочетох… и понеже ми е 22 часа успявам само да хвърля мисли като камъчета по вълните на буйна река, където ти не само се опитваш, но и правиш един дълбок и спокоен вир за разсъждения…
Правил ли си „жабки“… трябват плоски камъчета, но и умението да ги метнеш правилно :-))) а ти в математиката го можеш :-) Моите почитания!
Прекланям се пред стремежа ти да застанеш едновременно зад абстрактното и философско мислене и „точната“ вменена ни, а всъщност Красива Математика…
Понякога това е голямо „тичане“ между уж междусветлинни разстояния, но мисълта „изкривява“ лесно пространството… и всъщност е - Ей там на две преки зад розата на светоСварката на кръстСтановището ни…:-))))

Знаеш ли колко е готино да има блог, дето не се чувстваш винаги тъпанар и виновен като споделяш… ама понеже го нема дай да си го направим :-)
Днес се видях с децата… и като разбрах Как и Какво се учат брат… се настръхнах… (ами имам косми беееее…)… Най малката има 6 по геометрия… и кат‘ я питах къде се пресичат 2 успоредни прави (дет на таз аксмоНема се обуСлавя), даже и да знае пак не е верно бе човеко… а тя си гледа мобилния...
А учителите като тебе ги нема… избегаха… а и 99 % от хилядите съзнателни и търсещи и заредени със неосъзната и от нас интелигентност в БГ имат „планове“ за държави дето да бегат...
Те ли са виновни или Ние брат ???

Моля те дерзай !!!

Зная колко е трагична ситуацията в сферата на образованието. То да беше само там.
Така е докато продължават да се заделят средства за спорта. Спортът в България трябва да бъде запориран и средствата, които се резхищават за него да се прехвърлят за наука и образование. И то спешно. Иначе с нацията - капут!