Потребителски вход

Запомни ме | Регистрация
Постинг
30.09 10:46 - Мит ли е безкрайността? (7)
Автор: missana Категория: Лични дневници   
Прочетен: 255 Коментари: 7 Гласове:
4


Постингът е бил сред най-популярни в категория в Blog.bg

       Кула (Power set) на едно множество се нарича множеството състоящо се от всички негови подмножества /включително и празното множество/.

 

Когато изходното множество е безкрайно и неизброимо, неговата кула е трудно мислима. Припомняйки си ситуацията с парадокса на Ръсел, e близко до ума, че съществуването на кулата на такова множество отникъде не следва,  тъй като не е ясно дали тя въобще е множество. Ето защо нейното съществуване като множество се постулира чрез специална аксиома в Теория на множествата  - т.нар. Рower set axiom.

 

Лесно се съобразява, че кулата на множество, състоящо се от n на брой елементи , съществува и съдържа точно две на степен n на брой елемента. Например кулата на множеството, състоящо се от трите елемента: a, b, c, се състои от празното множество; от множествата съдържащи поотделно елементите а, b, c;  от множествата съдържащи двойките елементи: (a,b), (a,c), (b,c); и от самото изходно множество. А това прави точно 2 на степен 3, т.е. 8 на брой елемента.

 

Тъй като 2 на степен n е по-голямо от числото n, то кулите на крайните множества са винаги по-мощни от тези множества.

 

На езика на кардиналните числа, към който се опитвам да ви приуча, това означава, че кардиналното число на кулата на едно крайно множество е винаги по-голяма от кардиналното число на това множество.

 

Но дали същото неравенство остава валидно винаги и за кулите на безкрайните множества? /По аналогия с крайните множества, Кантор записвал кардиналното число на кулата на едно безкрайно множество А с 2 на степен кардиналното число на А./

 

Така поставеният въпрос не допуска тривиална обосновка на отговора си. По тази причина Кантор започнал с множеството N на всички цели положителни числа, чиято мощност /т.е. чието кардинално число/ означихме с алеф нула. Той с лекота установил, че мощността на кунтинуума /която заедно с вас означихме със с/ е  равна на 2 на степен алеф нула.

 

Но, ако си спомняте кардиналното число с е по-голямо от алеф нула. Откъдето Кантор, с чувство на удовлетворение заключил, че кулата на N е по-мощна от самото N.

 

Ще избързам да ви издам една малка, но съществена тайна. А тя е, че:

 

ако А е безкрайно множество, то множеството състоящо се от всички крайни подмножества на А има мощността на А.

 

Последният факт означава всъщност, че ако кулата на едно безкрайно множество е по-мощна от самото множество, то разликата в мощностите се дължи единствено на безкрайните елементи на кулата!

 

Доказателството, което Кантор дава на твърдението си, че:

 

всяка кула е по-мощна от пораждащото я множество

 

е с кристално прозрачна логика и би могло да бъде разбрано и от дете в забавачница. Разликата е единствено в това, че детето не би могло да измисли това доказателство!!! А ето го и самото него.

 

      Нека А е произволно непразно множество и К е кулата на А. Да допуснем, че съществува множество А равномощно със своята кула К. Това означава, че съществува биективно съответствие f между А и К. Нека х е произволен елемент на А и f(x) е образът на този елемент в К. По дефиницията на К това означава, че f(x) e подмножество на А. Да наречем елемента x ВЪЗПИТАН, ако той не принадлежи на f(x). Вече предусещам нещо като негодувание у някои от вас: Какви ни ги дрънка този? Не е ли възможно да не съществуват ВЪЗПИТАНИ елементи? Не! - Отговарям ви веднага. Вероятно помните, че празното множество е подмножество на всяко множество. А тогава то е подмножество и на нашето множество А. Следователно празното множество е елемент на К. Тъй като съответствието f е биективно, то ще съществува елемент y на А, съпоставен на празното множество. Но очевидно у не може да принадлежи на празното множество, защото то по дефиниция няма елементи. Следователно елементът у е със сигурност ВЪЗПИТАН. Сега вече вие сте наясно, че множеството от всички ВЪЗПИТАНИ елементи на А не може да бъде празно. Да го означим с B. Тъй като очевидно В е подмножество на А, то В е елемент на К. Нека z e онзи елемент на А, който съответствието f съпоставя на В. Задаваме си естествения въпрос - ВЪЗПИТАН ли е z? Да допуснем, че е именно такъв елемент. Тогава, съгласно дефиницията на ВЪЗПИТАН елемент, ще имаме, че z не принадлежи на f(z). Но f(z) = B. Излезе, че z хем е ВЪЗПИТАН, хем не принадлежи на множеството на всички ВЪЗПИТАНИ елементи В. А това е логически абсурд. Следователно z не е ВЪЗПИТАН. Но тогава z принадлежи на f(z) и тъй като f(z) = B, то z принадлежи на В. Но В е множеството на всички ВЪЗПИТАНИ елементи на А. Излезе, че все пак z e ВЪЗПИТАН.  Отново логически абсурд! Ала на какво се дължат тези логически абсурди? - с право ще ме попитате вие. Отговарям ви незабавно - на допускането, че съществува биективно съответствие между множеството А и неговата кула К. Значи такова съответствие не може да съществува и кулата К е винаги по-мощна от А. Изказано другояче:

 

2 на степен кардиналното число на А е винаги по-голямо от кардиналното число на А.

 

И така Кантор доказал нещо много съществено. А именно:

 

съществува безкрайна строго растяща редица от безкрайни кардинални числа - тази задаваща мощностите на безкрайната матрьошка от кули, породена от N - множеството на целите положителни числа.

 

Картинката изглеждала привлекателно проста. Алеф нула е най-малкото безкрайно кардинално число. То е последвано от числото алеф едно, равно на 2 на степен алеф нула. То пък е последвано от алеф две, равно на 2 на степен алеф едно. То пък е последвано от алеф три, равно на 2 на степен алеф две, etc до безкрайност. 

 

Това били планираните номера на канторовите галактики, в които разслоени лежали спящите красавици - безкрайности!!! Това била йерархията на алефите!!!

 

И всичко това щяло да е вярно, ако би била вярна континуум хипотезата. Но вече с вас разбрахме, че нейната вярност никак не следва от аксиомите, на които се полагал Кантор. Неговият математически рай се разминал с трансцеденталната и уви, непознаваема математическа Реалност. Но в тази енигматична Реалност, Кантор, като един паяк с неподражаем интелект, все пак вплел акордите на своите безбройни алефи!

 

/следва/




Гласувай:
4
0



Следващ постинг
Предишен постинг

1. stih - Поздравления!
01.10 01:57
Прочетох и гласувах, Мисана!
Почувствах се нищожество с моите бедни знания по темата...
Пожелавам ти свежа творческа енергия и нови постижения в областта на точните науки!
цитирай
2. vedrina - !!!
01.10 08:56
Накрая ще си го сглобя...!!!
цитирай
3. missana - Благодаря ти, Елица!
01.10 09:20
stih написа:
Поздравления! Прочетох и гласувах, Мисана!
Почувствах се нищожество с моите бедни знания по темата...
Пожелавам ти свежа творческа енергия и нови постижения в областта на точните науки!


Силно съм трогнат от вниманието ти към текста ми и от коментара, който направи. Аз исках да постигна точно обратното - читателите ми да разберат с лекота написаното от мен, а не да им създам чувството, че нищо не разбират. Изглежда съм се провалил, което често ми се случва. Поне ще остане налице доброто намерение, с което пиша това есе.

Бъди благословена и имай много радостна нова седмица!
цитирай
4. missana - Мерси, Марина!
01.10 09:22
vedrina написа:
Накрая ще си го сглобя...!!!


Във Ваше лице винаги съм имал добронамерен и вдъхновяващ читател.
Честито начало на академичната година и Ви желая само успехи и щастие!
цитирай
5. lexparsy - Много интересно !
01.10 20:41
Искам пак да съм студент и да си ми лектор! Но ще задавам много въпроси и ще преча на другите... Шегувам се :-)
Абе сетих се... пак да те разсмея... Като учехме Политикономия асистента накрая стандартно питаше - Има ли въпроси? Но бързо се поправяше - С изключение на тебе! - и ме сочеше нервно... Истина казвам :-) А след години много се смяхме като се срещнахме :-)
Комплименти Младен! Надявам се да намеря кондиция да се задълбая по-дълбоко в контекста на труда ти.
Ще чакам продължението...
цитирай
6. missana - Благодаря ти за ласкавия отзив, Приятелю!
01.10 23:29
lexparsy написа:
Много интересно ! Искам пак да съм студент и да си ми лектор! Но ще задавам много въпроси и ще преча на другите... Шегувам се :-)
Абе сетих се... пак да те разсмея... Като учехме Политикономия асистента накрая стандартно питаше - Има ли въпроси? Но бързо се поправяше - С изключение на тебе! - и ме сочеше нервно... Истина казвам :-) А след години много се смяхме като се срещнахме :-)
Комплименти Младен! Надявам се да намеря кондиция да се задълбая по-дълбоко в контекста на труда ти.
Ще чакам продължението...


Ако се беше случила въпросната ситуация, която описваш, щяхме да си говорим на толкова интересни теми и да замръкваме във висшето учебно заведение. Понеже се интересуваше, то нека числото m не се дели нито на 2 нито на 5. Дължината на периода на дробта 1/m е онова най-малко число k, за което 10 на степен k дава остатък 1 при деление на m. Нека m се разлага на произведение от вида n_1.n_2...n_s , където n_t = (p_t)^l_t и числата p_t са различни прости числа, а степените l_t са цели положителни числа по-големи или равни на 1. Тогава се доказва, че дължината на периода на дробта 1/m се равнява на най-малкото общо кратно от дължините на периодите на дробите 1/n_t. Оказва се, че дължината на периода на дробта 1/n_t се изразява в явен вид чрез дължината на периода на дробта 1/p_t. И така въпросът в крайна сметка се сведе до пресмятане дължините на периодите на дроби от вида 1/p, където p e просто число. Този въпрос, уви, не е решен. Знае се само, че дължината на въпросния период трябва да е делител на числото p-1. Но кой точно делител, когато простото число p e зададено в буквен вид, това не се знае и едва ли някога ще се узнае. За всяко конкретно p въпросът естествено има решение.
цитирай
7. lexparsy - Уауууу много материал за размисъл ми даде Младен
02.10 13:03
и много благодаря за което защото това е важна част от матесмисликите, които интуитивно се главосблъсквам... ще се изкефя да се размисля, но...
Май трябва да си намеря някое мъдро дърво под което да седна, че като му разкажа на него да знам че и други ще разберат :-)
Но преди това трябва да върна мобилния на феята от езерото брат... Дано си го иска обратно :-))))))
А ако седя достатъчно дълго и не се чуем, може и на Буда да съм се престорил... Да знаеш де :-)))))
цитирай
Търсене

За този блог
Автор: missana
Категория: Поезия
Прочетен: 1017075
Постинги: 848
Коментари: 5702
Гласове: 1312
Календар
«  Декември, 2018  
ПВСЧПСН
12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31